语言游戏：从鸡兔同笼到线性代数

鸡兔同笼非常不 make sense。但是鸡兔同笼也非常 make sense！（日常左右脑互搏）

在数学的语言游戏中，我们并不关心鸡兔是不是真被关在笼里，就像我们并不关心象棋中的马会不会拉屎在棋盘上。 正如维特根斯坦宣告：意义在于用法！

本文作为一篇数学和哲学杂交的小脑洞，用作与朋友们交流的例子。

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感谢

感谢一位数学朋友，是他推荐我看龚昇的公开课——非常幽默、非常通透、非常适合初学者食用！本文“鸡兔同笼”的例子正是出于龚昇的在数学基础选讲课所讲的一个段子。

感谢一位哲学朋友言灵，他的热心分享让我触到了维特根斯坦的语言哲学，实在有趣。本文“水杯”的例子正是他给出的。

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语言游戏：意义在于用法

维特根斯坦在其《哲学研究》¹中，提出了“语言游戏”的概念。并强调意义在于用法：

§43. 在大多数—————尽管不是全部————使用“意义”一词的情况下,我们可以这样解释“意义”这个词:一个词的意义就是它在语言中的用法（use）²。

例如，世上原本没有“杯子”这个词，是由于“喝水”这一活动在生活中时常重复，为了在说话的时候方便，就将“那个可以拿来喝水的东西”赋予了一个名字“杯子”。

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鸡兔同笼 make sense 吗？

“鸡兔同笼”问题出自南北朝时期的《孙子算经》：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”。

假设雉鸡 \(x\) 只，兔子 \(y\) 只。

\[ \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} \]

诚实地说，这样的数学问题实在不 make sense 。鸡和兔被关在一个笼子里，已经数得清有多少头多少脚，却数不清多少鸡多少兔子。（这个段子来自龚昇的数学基础选讲）

当然，我们也应当体恤这样的表达方式。毕竟那会还没有发展出符号化作抽象的代数语言，不得不如此。在小学数学教育中，也常用这样的比喻来描述。

但这其实也 make sense ，因为这本身就是一个语言游戏，因为意义在于用法，“鸡”与“兔”、“脚”与“足”、“同笼……有”，其实和方程组中的 \(x\) 与 \(y\)、乘法、加法与等于其实并无任何本质上的区别。

我们用“鸡兔”描述的其实是一个规则体系，而不是关心鸡兔是不是真被关在笼里。就像我们并不关心象棋中的马会不会拉屎在棋盘上，而是只在乎它走“日”形路线。这也好比我买了一个杯子，但我从来没用它喝过水，却一直用来当花瓶；一个深桶状的容器，并不会因它叫“杯子”而被局限于只能喝水。

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线性代数的方言

起初是解“鸡兔同笼”这样的简单问题，只有两个未知数，但很快人就会想要去解 \(n\) 个变量的 \(n\) 个方程，出于兴趣点的转移，或说意向性³的转向，一步步作抽象，就会产生各种线性代数的方言。

基于这样历史性的理解，线性代数的产生动机也就非常自然了。

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方言一：“展开”的矩阵

形式

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \\ \end{bmatrix} \]

历史背景

这种“展开式”源于18~19世纪代数学中“求解方程组”的需求，当时人们意向的是：如何用纸笔明确写出每一个变量和系数，以便解出具体数值。

特别是在高斯（Gauss）之后，线性方程组解法成为数值计算的核心，他发展了高斯消元法，使这类“展开写法”具备实际计算力。

不过一开始并没有“矩阵”这一术语，直到19世纪末才被凯利（Cayley）正式推广。

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方言二：“折叠”的矩阵

形式

\[ A\vec{x} = \vec{b} \]

历史背景

进入20世纪后，意向发生转向，逐渐从求解具体方程、变量转向到对整个系统、结构的分析，比如：什么时候有解？解是否唯一？是否对扰动稳定？

方言二相当于对方言一作了如下符号化抽象：

\( \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 4\end{bmatrix} = A \)	\( \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \vec{x} \)	\( \begin{bmatrix}35 \\ 94\end{bmatrix} = \vec{b} \)
系数矩阵	未知向量（变量向量）	常数向量（右侧向量）

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方言三：线性变换

形式

\[ T(\vec{x}) = \vec{b} \quad \text{其中 } T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \text{ 是线性映射} \]

历史背景

进入20世纪中叶，尤其在泛函分析、抽象代数与拓扑的推动下，意向再次发生转向，在结构主义（structuralism）潮流中，数学对象的内部构造退居次要，映射关系成为研究的核心。

在线性代数中，这种思想表现为将矩阵视为线性变换在特定基底下的表示。也就是说，若 \( T \) 是一个线性变换，且我们选定了适当的基底，那么就存在一个矩阵 \( A \)，使得：

\[ T(\vec{x}) = A\vec{x} \]

从方言二到方言三，是进一步的抽象。关注点从求解变量，转向为映射。

\( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \)	\( \vec{x} \in \mathbb{R}^n \)	\( T(\vec{x}) = \vec{b} \in \mathbb{R}^m \)
线性变换（抽象映射）	输入向量（原像）	输出向量（像）

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其实在哲学和数学两方面，都还可以进行一层更深的反思，但目前还没具体想清楚，所以，就先写到这里了。